Calculo I

14-O raio de uma esfera cresce à razão de 3Cm/s. Determine a taxa de variação do volume dessa bola no instante em que o seu raio for 8 cm. V=4 π R^2 dr/dt=3 r = 8
dv/dt=? 1.dv/dt=4π.2R.dr/dt=0 dv/dt=4π.2.8.3 dy/dt=602,88cm³/s
5-Joga-se uma pedra em um lago produzindo ondas circulares cujos raios aumentam a uma razão constante de 0,5m/s. A que taxa esta aumentando a circunferência da onda quando o raio é de 4m? A=π r^2 r=4 dr/dt=0,5 da/dt=?
1.da/dt=π.2π.dr/dt=0 da/dt= 3,4.2.4.0,5 da/dt=(12,56m^2)⁄s
6-Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base de escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, com que velocidade (variação) a escada percorre a parede, quando está a 4m do solo? x= 4,5 A^2=x^2+y^2 6^2=4^2+x^2 x=36-16 x=√20 x=4,5 6^2+x^2+y^2 x^2+y^2=36 2x.dx/dt + 2y.dy/dt=0 2.4,5.0,6+ 2,4dy/dt=0 5,4+ 8dy/dt=0 8dy/dt=-5,4 dy/dt=-5,4/8 dy/dt=-0,67m/s
11-Uma escada de 8m está encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede? X=3 y=7,42 dx/dt=2 dy/dt=? 8^2=x^2+y^2 64=3^2+y^2 y^2=64-9 y^2=√55 y=7,42 2x.dx/dt+2y.dy/dt=0 2.3.2+2.7,42.dy/dt=0 12+14,8= dy/dt dy/dt=-12/14,8=-0,8m/s
8- Uma quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10m³/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8m de altura. V=1/3π.r^2.h v=1/(3 ).π(h/2)^2.h v=1/3.π.h^2.h v=1/12.π.h^3 1.dv/dt=1/12.π.3h^2.dh/dt
10= 1/12 π.3.(8)^2 dh/dt 10=192π.dh/dy 120=192.π.dh/dy 120/602,88=0,199m/min
7-Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo. O raio do círculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20m. dr/dt=1 da/dt=? R=20m a=πr^2
da/dt=π.2r.dr/dt da/dt=π.2.20.1 da/dt=40πm³/min
12- Enche-se de água um reservatório, cuja forma é de um cone circular reto, a uma txa de 0,1m³/seg. O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h=5m? Tx de 0,1m³/min dv/dt=(0,1m^3)/s dh/dt=? 10/r=15/5 10/r=3 r=3,33
v=1/3.π.r^2.h v=1/3.π.(10/3)^2.h v=1/3.π.100/9.h v=100/27.π.h
dv/dt=100/27.π.1.dh/dt 0,1= 100/27.π.dh/dt 0,1= 314/27.dh/dt 2,7/314=dh/dt dh/dt=0,0085m/s